今回は、ベクトルの内積について考えていきたいと思います！！
1.「ベクトルの内積ってなに？」
ベクトルの内積とは、
この図で言うところの、a↑・b↑＝|a| |b| cosθ の値です。
また、a↑とb↑の内積をa↑・b↑のように表します。
( |a↑|や|b↑|は、a↑や b↑のベクトルの大きさを表します。)
2.本題
ここからが、今回の本題です。まず、ベクトルの性質を見ていきます。
ベクトルの大きさ: a↑・a↑＝|a|^2
( |a|=0⇆ a・a＝0)
交換法則: a↑・b↑＝b↑・a↑
分配法則: a↑(b↑+c↑)＝a↑・b↑+a↑・c↑
結合法則: (ka↑)・b↑＝a↑・(k b↑)＝k(a↑・b↑)
[k＝定数]
内積には、上記のような性質があります。
(証明したかったけど時間の都合でカットします。)
交換法則、分配法則、結合法則は、普段から使い慣れているので、すぐ使える方が多いのですが、ベクトルの大きさの公式を覚えられない人が多い印象です。💦
一番、利用頻度が高い公式なので是非覚えておいて下さい！
3.問題
では、上の公式を使い定番の問題を解いてみましょう。
|a↑|＝3 |b↑|＝2 |a↑−b↑|＝√19のとき下の値を求める。(0≦θ≦π)
(1)a↑・b↑ (2)a↑とb↑のなす角θ
まず(1)を解いていきます。「a↑とb↑の内積なんか条件で与えられていない！」と思った方、大丈夫です。考えていきましょう！
まず |a↑−b↑|＝√19の両辺を2乗します。
(左辺)=|a↑−b↑|^2になります。
ここでベクトルの性質を使うと
|a↑−b↑|^2＝(a↑−b↑)・(a↑−b↑)になり
これを分配法則でバラしていくと
|a↑|^2−2a↑・b↑+|b↑|^2＝19
これを整理すると
a↑・b↑＝−3ですね！
(2) 内積がでたらあとは簡単です。
a↑・b↑＝|a| |b| cosθこれを整理すると
cosθ＝a↑・b↑/|a↑|×|b↑|になります。
あとは、これに代入すると
cosθ＝−1/2となり
0≦θ≦πよりこのθは、2π/3になりますね！
まとめ
今回は、内積の性質について見ていきました。
内積の計算が出来るようになると、空間や図形の問題に強くなるので、苦手な方は是非勉強してみてください！！
最後まで読んで頂きありがとうございました
（＾◇＾）
